Table of Contents
Inhalt
Danksagung 17
Einführung 19
Teil I: Funktionen mit einer Variablen 27
1 Häufig vorkommende Funktionstypen 27
Funktionen ganz allgemein 27
Polynome 34
Gebrochen rationale Funktionen 39
Potenz- und Wurzelfunktionen 43
Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen 45
Trigonometrische Funktionen 51
Betragsfunktion und Gaußklammerfunktion 57
2 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 65
Stetigkeit einer Funktion 65
Grenzwert einer Funktion 72
3 Funktionen in anderen Darstellungen 83
Funktionen in impliziter Darstellung 83
Funktionen in Parameterform 85
Funktionen in Polarkoordinaten 86
Teil II: Ableitungen 91
4 Berechnen von Ableitungen 91
Definition der Ableitung als Grenzwert 91
Rechenregeln für die Berechnung von Ableitungen 86
5 Untersuchung von Funktionskurven 107
Die Gleichungen der Tangente und der Normale 107
Das Steigungsverhalten und die Lage von Extremstellen 111
Die Krümmungsrichtung und die Lage von Wendepunkten 114
6 Fortgeschrittene Anwendungen 121
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe 121
Das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen 132
Die Regel von l’Hospital für unbestimmte Ausdrücke 138
Verwendung von Ableitungen in Physik und Wirtschaft 141
7 Ableiten von impliziten Funktionen
und von Funktionen in Parameterform 145
Ableiten von impliziten Funktionen 145
Ableiten von Funktionen in Parameterform 147
Teil III: Integrale 153
8 Unbestimmte Integrale: Die »Rolle rückwärts« des Ableitens 153
Grundintegrale, die Sie auswendig wissen sollten 153
Umformungsregeln: Partielle Integration und Integration durch Substitution 157
Partialbruchzerlegung von gebrochen rationalen Funktionen 165
Nachschlagen in einer Formelsammlung 173
Integration von Reihenentwicklungen 176
9 Bestimmte Integrale: Die eine Zahl finden, auf die alles ankommt 181
Berechnung von Integralen durch Auswerten der Stammfunktion 181
Näherungsrechnung mit der Trapezregel und mit der Simpsonregel 190
Bestimmung von Flächeninhalten, Kurvenlängen und anderen geometrischen Angaben 198
Flächenberechnung bei Polarkoordinaten 208
14 Inhalt
Teil IV: Funktionen mit mehreren Variablen 215
10 Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen 215
Funktionsgebirge und Höhenlinien 215
Stetigkeit 218
11 Ableitungen und Integrale von Funktionen mit mehreren Variablen 223
Von der partiellen Ableitung zur Tangentialebene 223
Suche nach Extremstellen 227
Mehrdimensionales Integrieren 230
Anhang 241
Lösungen 245
Glossar 257
Index 261
