Vorlesungen �ber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen

by Adolf Hurwitz, Richard Courant, J. L. Doob (Editor), E. Heinz (Editor), F. Hirzebruch (Editor)

Overview

Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un- abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver- mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk- tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent- wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un- tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Product Details

ISBN-13:	9783642493799
Publisher:	Springer Berlin Heidelberg
Publication date:	01/01/1964
Series:	Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , #3
Edition description:	Softcover reprint of the original 4th ed. 1964
Pages:	706
Product dimensions:	6.10(w) x 9.25(h) x 0.06(d)
Language:	German

Table of Contents

Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- Erstes Kapitel. Die komplexen Zahlen.- § 1. Begriff der komplexen Zahl.- § 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Sätze über den absoluten Betrag.- § 3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel.- § 4. Häufungswerte unendlicher Zahlenmengen.- § 5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern.- § 6. Komplexe Variable und Funktionen derselben.- § 7. Gleichmäßige Konvergenz.- Zweites Kapitel. Die Potenzreihen.- § 1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.- § 2. Bestimmung des Konvergenzradius.- § 3. Das Rechnen mit Potenzreihen.- § 4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung.- § 5. Ausdehnung der erhaltenen Sätze.- § 6. Die Umbildungen einer Potenzreihe.- § 7. Die Ableitungen einer Potenzreihe.- § 8. Unmittelbare Fortsetzungen einer Potenzreihe.- § 9. Laurentsche Reihen. Ein Hilfssatz über Potenzreihen.- Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.- § 1. Monogene Systeme von Potenzreihen.- § 2. Definition der analytischen Funktion.- § 3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion.- § 4. Beispiele.- § 5. Die Elementarzweige und ihre singulären Punkte.- § 6. Der Fundamentalsatz der Algebra.- § 7. Singuläre Punkte einer analytischen Funktion.- § 8. Die singulären Stellen der ganzen und der rationalen Funktionen.- § 9. Einige allgemeine Sätze über analytische Funktionen.- § 10. Der Weierstraßsche Summensatz.- Viertes Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.- § 1. Die Exponentialfunktion.- § 2. Die trigonometrischen Funktionen.- § 3. Der Logarithmus.- § 4. Die allgemeine Potenz.- Fünftes Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.- § 1. Gleichmäßige Stetigkeit und Differenzierbarkeit analytischer Funktionen.- § 2. Integration der Potenzreihen.- § 3. Integration der Ableitung einer regulären Funktion.- § 4. Beispiele.- § 5. Integration regulärer Funktionen.- § 6. Der Satz von Cauchy.- § 7. Folgerungen aus dem Satz von Cauchy. Der Satz von Laurent.- § 8. Die Resuiden der analytischen Funktionen.- § 9. Bestimmung der Null-und Unendlichkeitsstellen einer Funktion.- Sechstes Kapitel. Die meromorphen Funktionen.- § 1. Begriff der meromorphen Funktion.- § 2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen.- § 3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen. Der Mittag-Lefflersche Satz.- § 4. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich vielen Polen.- § 5. Der Fall einfacher Pole.- § 6. Beispiele.- § 7. Cauchys Methode der Partialbruchzerlegung.- § 8. Beispiele.- § 9. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen.- § 10. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen.- § 11. Die Produktdarstellung der Gammafunktion.- § 12. Die Integraldarstellung der Gammafunktion.- Siebentes Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.- § 1. Umkehrung der Potenzreihen.- § 2. Beispiele.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- Erstes Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.- § 1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen.- § 2. Sätze über die Perioden einer meromorphen Funktion.- § 3. Das Periodenparallelogramm.- § 4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Körper K.- § 5. Allgemeine Sätze über die Funktionen f (u).- § 6. Die Funktion p(u).- § 7. Die Differentialgleichung von gJ (u).- § 8. Das Additionstheorem von gJ (u).- § 9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die—-Funktion.- § 10. Weitere Eigenschaften der Funktionen f (u).- § 11. Die Funktion ζ(u).- § 12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch γ (w).- § 13. Die Funktion— (u).- § 14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion σ(u).- § 15. Die Funktionen— (u),— (u),— (u) als Funktionen von u,—l,—2.- Tabellarische Übersicht zum 1. Kapitel.- Zweites Kapitel. Die Theta-Funktionen.- § 1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode.- § 2. Bezeichnungen.- § 3. Die Funktion—1(v).- § 4. Die Funktionen—1(u),—2(u),—3(u).- § 5. Die Funktionen—2(v),?3(v),?0(v).- § 6. Zusammenstellung.- § 7. Zusammenfassende Darstellung der ∂-Funktionen. Die—-Funktionen als Funktionen von v und—.- § 8. Verwandlungsformeln und Nullstellen der vier ∂-Funktionen.- § 9. Darstellung von e1, e2, e3 und δ durch die Nullwerte der ∂.- § 10. Darstellung der ∂-Funktionen durch unendliche Produkte.- § 11. Einige zahlentheoretische Anwendungen der erhaltenen Resultate.- § 12. Partialbruchzerlegungen von τ (u) und ζ (u) als Funktionen von z2. Darstellungen von η, g2, g3.- § 13. Entwicklung von—?(u) — ek.- Drittes Kapitel. Die elliptischen Funktionen Jacobis.- § 1. Definition der Funktionen s(u), c(u),— (u).- § 2. Die Funktionen s (u), c(u),— (u) als elliptische Funktionen.- § 3. Die Differentialgleichungen von s (u), c(u),— (u).- § 4. Die Additionstheoreme von s (u), c(u),— (u).- § 5. Die trigonometrischen Funktionen als Grenzfälle der Funktionen s(u), c(u), δ(u).- Viertes Kapitel. Die elliptischen Modulfunktionen.- § 1. Äquivalenz der Größenpaare und der Größen.- § 2. Die elementaren Modulformen.- § 3. Die absolute Invariante J (?).- § 4. Auflösung der Gleichungen g2(?1,—2) = a2, g3(?1,—2) = a2.- § 5. Die Funktion—2(?).- Fünftes Kapitel. Elliptische Gebilde.- § 1. Das Weierstraßsche Gebilde.- § 2. Das Gebilde y2 = G3(x).- § 3. Das Gebilde y2 = G4(x).- § 4. Das Legendresche Gebüde.- § 5. Die Hauptform der Riemannschen Fläche des Gebildes y2— G4(x).- § 6. Die zweiblättrige Form der Riemannschen Fläche von y2 = G4(x).- Sechstes Kapitel. Elliptische Integrale.- § 1. Definitionen.- § 2. Die unbestimmten elliptischen Integrale.- § 3. Die bestimmten elliptischen Integrale.- Siebentes Kapitel. Die Transformation der elliptischen Funktionen.- § 1. Lineare Transformation der Weierstraßschen Funktionen.- § 2. Lineare Transformation der—-Funktionen.- § 3. Transformation zweiter Ordnung.- § 4. Zusammenhang zwischen den Weierstraßschen und den Jacobischen elliptischen Funktionen.- § 5. Die Landensche Transformation.- § 6. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- Dritter Abschnitt. Geometrische Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Vorbereitende Betrachungen.- § 1. Komplexe Zahlen.- § 2. Geometrische Grundbegriffe.- § 3. Kurvenintegrale.- Zweites Kapitel. Die Grundlagen der Theorie der meromorphen Funktionen.- § 1. Die Forderung der Differenzierbarkeit.- § 2. Die inverse Funktion.- § 3. Das bestimmte Integral einer holomorphen Funktion und seine Grenzeigenschaften.- § 4. Der Cauchysche Integralsatz.- § 5. Integrale in mehrfach zusammenhängenden Bereichen. Der Cauchysche Residuensatz.- § 6. Beispiele. Elementare Funktionen.- § 7. Die Cauchysche Integralformel.- § 8. Konforme Abbildung.- Drittes Kapitel. Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel.- § 1. Die Taylorsche und Laurentsche Reihe.- § 2. Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes und Residuensatzes.- § 3. Der Satz vom arithmetischen Mittel. Prinzip vom Maximum und Schwarzsches Lemma.- § 4. Abschätzungsformeln. Satz von Liouville.- § 5. Gleichmäßige Konvergenz. Ein Konvergenzsatz von Weierstrass.- § 6. Das Häufungsstellenprinzip für holomorphe Funktionen.- § 7. Zusammenhang mit der Potentialtheorie.- § 8. Darstellung der holomorphen Funktionen und der Potentialfunktionen durch das Poissonsche Integral.- § 9. Folgerungen.- § 10. Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie für den Kreis.- § 11. Die Randwerte einer holomorphen Funktion.- § 12. Strömungen.- Viertes Kapitel. Spezielle Funktionen und ihre Singularitäten.- § 1. Singularitäten und Kreuzungspunkte.- § 2. Veranschaulichung der einfachsten Singularitäten und Kreuzungspunkte.- § 3. Lineare Funktionen.- § 4. Die Funktion— = zn.- § 5. Die Funktion— = ½ (z + 1/z).- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- § 7. Die trigonometrischen Funktionen.- § 8. Potenzen mit beliebigem Exponenten. Kreisbogenzweiecke.- § 9. Anhang. Raumgeometrische Deutung der linearen Substitutionen.- Fünftes Kapitel. Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.- § 1. Allgemeines über analytische Fortsetzung.- § 2. Das Prinzip der Stetigkeit und das Spiegelungsprinzip.- § 3. Der Gesamtverlauf der meromorphen Funktionen und ihre Riemannschen Flächen.- § 4. Die algebraischen Funktionen.- Sechstes Kapitel. Die konforme Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete.- § 1. Vorbemerkungen und Hilfssätze.- § 2. Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes.- § 3. Der Eindeutigkeitssatz.- § 4. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung.- § 5. Die Greensche Funktion und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie.- § 6. Das alternierende Verfahren. Stetigkeitseigenschaften der Abbildungsfunktionen.- § 7. Verzerrungssätze.- § 8. Anwendungen des Prinzips vom Maximum.- Siebentes Kapitel. Spezielle Abbildungsfunktionen.- § 1. Die allgemeine Potenzabbildung.- § 2. Die Funktionen des geradlinigen Dreiecks.- § 3. Abbildung des Rechteckes. Elliptische Funktionen.- § 4. Modulfunktionen und automorphe Funktionen.- § 5. Der Picardsche Satz.- § 6. Anderer Beweis des Picardschen Satzes. Die Sätze von Schottky und Landau.- § 7. Die Abbildungsfunktionen von Kreisbogenpolygonen als Lösungen von Differentialgleichungen.- Achtes Kapitel. Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Das Dirichletsche Prinzip.- § 1. Heuristische Betrachtungen.- § 2. Das Dirichletsche Integral und die Greensche Formel.- § 3. Das Dirichletsche Prinzip.- § 4. Erweiterte Fassung des Problems.- § 5. Randwertaufgabe und Minimumprinzip für den Kreis.- § 6. Hilfssätze.- § 7. Lösung des Minimumproblems.- § 8. Harmonische Funktionen mit gegebenen Singularitäten.- § 9. Die konforme Abbildung auf Schlitzbereiche.- § 10. Die eindeutige Bestimmtheit der Schlitzabbildung.- Neuntes Kapitel. Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie.- § 1. Die Topologie der kompakten Riemannschen Flächen.- Anhang zu § 1. Die Möglichkeit der kanonischen Zerschneidung.- § 2. Abelsche Integrale und meromorphe Funktionen auf einer gegebenen Riemannschen Fläche.- § 3. Die Existenz automorpher Funktionen mit gegebenem Fundamentalbereich.- § 4. Die Uniformisierung der algebraischen und meromorphen Funktionen durch automorphe Funktionen mit Grenzkreis.- § 5. Die konforme Abbildung schlichtartiger Bereiche auf Kreisbereiche. Das Rückkehrschnitt-Theorem.- § 6. Die Moduln eines schlichtartigen Bereiches.- § 7. Riemannsche Flächen und Flächen im dreidimensionalen Zahlenraum.- § 8. Historische Angaben zu den letzten Kapiteln.- Einleitende Bemerkungen.- Erstes Kapitel. Weitere Abbildungstheoreme der Funktionentheorie.- § 1. Primenden und konforme Abbildung.- § 2. Randkomponenten und Schlitzabbildung.- § 3. Konforme Selbstabbildungen Riemannscher Flächen.- § 4. Fuchssche Gruppen.- § 5. Moduln von Vierecken und Ringgebieten.- § 6. Quasikonforme Abbildungen.- § 7. Extremale quasikonforme Abbildungen.- Zweites Kapitel. Holomorphe und meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen.- § 1. Partialbruchzerlegung auf kompakten Riemannschen Flächen.- § 2. Der Riemann-Rochsche Satz.- § 3. Die Cauchyschen Integralformeln auf kompakten Riemannschen Flächen.- § 4. Holomorphe Vektorraumbündel und C-Prinzipalbündel.- § 5. Meromorphe Schnitte in holomorphen Geradenbündeln und C-Prinzipal-bündeln über kompakten Riemannschen Flächen.- § 6. Topologische Eigenschaften nicht kompakter Riemannscher Flächen..- § 7. Der Rungesche Approximationssatz.- § 8. Holomorphe Geradenbündel und C-Prinzipalbündel über nicht kompakten Riemannschen Flächen.- § 9. Automorphe Funktionen.- Namen- und Sachverzeichnis.