Table of Contents
Einleitung 13
1 Es geht ums Geld 17
1.1 Zeit und Geld 17
1.2 Inflation und Deflation 18
1.3 Barwert und Endwert 21
1.3.1 Nominalwert und Äquivalenzprinzip 22
Teil I: Einzelne Zahlungen 25
2 Zinsrechnung über ganze Jahre 25
2.1 Definition wichtiger Begriffe 25
2.2 Zinsberechnung über eine Periode/ein Jahr 26
2.2.1 Vom Endwert zum Barwert 27
2.3 Einfache Verzinsung über mehrere Perioden/mehrere Jahre 28
2.3.1 Zinsanteil und Kapitalendwert 29
2.3.2 Vom Endwert zum Barwert 30
2.3.3 Unterschiedliche Zinssätze 31
2.3.3.1 Vom Endwert zum Barwert bei unterschiedlichen Zinssätzen 31
2.4 Zinseszinsrechnung über mehrere Perioden/Jahre 32
2.4.1 Kapitalendwertberechnung mit Zinseszinsen 34
2.4.2 Der Barwert in der Zinseszinsrechnung 36
2.4.3 Zinseszinsrechnung mit unterschiedlichen Periodenzinssätzen 36
2.5 Durchschnittliche Verzinsung 38
2.5.1 Durchschnittliche Verzinsung bei einfacher Verzinsung 38
2.5.2 Durchschnittszins bei exponentieller Verzinsung 39
2.5.2.1 Die Ungleichheit von geometrischem und arithmetischem Mittel 40
2.6 Anwendungsbeispiele für die lineare und die exponentielle Verzinsung 40
2.7 Formelübersicht zu den Kapitel 2 41
3 Unterjährliche Zinsrechnung 43
3.1 Zum Unterschied zwischen Nominal- und Effektivzinssatz 44
3.2 Unterjährlich lineare Verzinsung 44
3.2.1 Der linear proportionale Zinssatz 45
3.2.1.1 Konformer Zinssatz 46
3.3 Konformer Zinssatz bei unterjährlicher Zinseszinsrechnung 46
3.3.1 Linear proportionaler Zinssatz nicht mehr konform 47
3.3.2 Der exponentiell proportionale Zinssatz 48
3.3.3 Effektivzinssatz bei unterjährlicher Verzinsung – Effektivzins zum Ersten 49
3.3.4 Zinsberechnungsmethoden 51
3.3.4.1 Deutsche kaufmännische Methode (30/360) 52
3.3.4.2 Französische Methode (act/360) 53
3.3.4.3 Effektivzinsmethode (act/act) 54
3.3.4.4 Anwendungsbeispiel Lieferantenkredit 55
3.3.5 Stetige Verzinsung 56
3.3.5.1 Grenzwert der stetigen Verzinsung 56
3.3.5.2 Anwendungen der stetigen Verzinsung 57
3.4 Unterjährliche Zinseszinsrechnung über mehrere Jahre 59
3.4.1 Verwendung des linear proportionalen Zinssatzes 59
3.4.1.1 Extremfall stetige Verzinsung 60
3.4.2 Verwendung des exponentiell proportionalen Zinssatzes 60
3.4.2.1 Gebrochene Exponenten in der Zinseszinsrechnung 61
3.5 Gemischte Verzinsung 62
3.5.1 Berechnung des Kontostandes bei unterjährlichen Ein- und Auszahlungen 63
3.5.2 Barwert bei gemischter Verzinsung 65
3.5.3 Die Ungerechtigkeit der gemischten Verzinsung 66
3.6 Formelübersicht zu den Kapiteln 2 und 3 67
Teil II: Mehrere Zahlungen 71
4 Zahlungsströme 71
4.1 Einleitung 71
4.2 Finanzmathematische Bewertung von Zahlungsströmen 71
4.2.1 Endwertberechnung 73
4.3 Der Kalkulationszinssatz 74
4.3.1 Kriterien für den Kalkulationszinssatz 75
4.4 Zahlungsströme mit unterjährlichen Zahlungen 76
4.4.1 Unterjährliche Zinseszinsen 77
4.4.2 Unterjährlich lineare Verzinsung 78
4.4.3 Vergleich der beiden unterjährlichen Varianten 79
4.5 Formelübersicht 80
5 Rentenrechnung 83
5.1 Zahlungsempfang oder Zahlungsleistung – kommt es darauf an? 83
5.2 Rentenwert bei konstanter Rate und konstantem Zinssatz 84
5.2.1 Nachschüssige Zahlungsweise 85
5.2.1.1 Anwendung der geometrischen Reihe 86
5.2.2 Vorschüssige Zahlungsweise 87
5.2.3 Unterjährliche Rentenzahlungen 89
5.2.3.1 Unterjährliche Zinseszinsrechnung 89
5.2.3.2 Gemischte Verzinsung 90
5.3 Rentenwert bei unterschiedlichen Raten und Zinssätzen 91
5.3.1 Unterschiedliche Zinssätze – Teilrenten 91
5.3.2 Unterschiedliche Raten – Dynamische Renten 93
5.3.2.1 Arithmetische Änderung der Rate 94
5.3.2.2 Geometrische Änderung der Rate 95
5.4 Formelübersicht 98
6 Kapitalaufbau und Kapitalverbrauch 101
6.1 Kapitalaufbau 101
6.2 Nachschüssiger Kapitalverbrauch 103
6.2.1 Berechnung der möglichen Entnahmerate 105
6.2.1.1 Berechnung des benötigten Anfangskapitals 105
6.2.1.2 Berechnung der möglichen Entnahmedauer 106
6.2.2 Entnahme ohne Verbrauch – Ewige Rente 106
6.2.3 Kapitalaufbau trotz Entnahme 107
6.2.4 Unterjährliche Raten 108
6.3 Vorschüssiger Kapitalverbrauch 109
6.4 Kapitalverbrauch mit geometrischer Rate 110
6.4.1 Bar- und Endwertberechnung 110
6.4.2 Berechnung der möglichen Entnahmedauer 111
6.5 Kombination von Kapitalaufbau und -verbrauch 112
6.5.1 Jährliche Raten 113
6.5.2 Unterjährliche Entnahme 114
6.5.3 Unterbrechung zwischen Aufbau und Verbrauch 115
6.5.4 Unterbrechungen innerhalb der Anspar- oder Verbrauchsphase 116
6.5.5 Anfangs- und Endkapital ungleich null 117
6.6 Formelübersicht 118
7 Tilgungsrechnung 121
7.1 Begriffe 121
7.2 Endfällige Darlehen 123
7.2.1 Jährlich geleistete Zinszahlungen 123
7.2.2 Zinszahlung am Ende der Laufzeit 123
7.3 Tilgung in jährlichen Raten 124
7.3.1 Ratentilgung 124
7.3.2 Annuitätentilgung 126
7.3.3 Vergleich von Raten- und Annuitätentilgung 127
7.3.3.1 Ein anderer Weg zur gleichen Erkenntnis 129
7.3.4 Bestimmung der Laufzeit bei Raten- und Annuitätentilgung 130
7.4 Tilgung in unterjährlichen Raten 131
7.4.1 Unterjährlich lineare Verzinsung 131
7.4.2 Unterjährlich exponentielle Verzinsung 133
7.5 Effektivzinssatz von Krediten – Effektivzins zum Zweiten 136
7.5.1 Zwei Ideen zur Effektivzinsbestimmung 136
7.5.2 Tilgungspläne zur Effektivzinsbestimmung 137
7.5.3 Vorgehensweise zur richtigen Effektivzinsermittlung 139
7.5.4 Vergleich mit dem Effektivzins der unterjährlichen Zinseszinsrechnung 141
7.6 Formelübersicht 142
8 Wertpapiere – Kauf und Verkauf von Zahlungsansprüchen 145
8.1 Allgemeines zu Kurs und Rendite 145
8.1.1 Der Kurs als Werteverhältnis 145
8.1.2 Die Rendite als Zinssatz 146
8.2 Wertpapiere und Anleihen – Begriffe 148
8.3 Zahlungsstrom einer festverzinslichen Anleihe 148
8.3.1 Kurs einer Anleihe bei ganzjähriger Restlaufzeit 149
8.3.1.1 Warum nicht lineare Diskontierung? 151
8.3.2 Rendite einer festverzinslichen Anleihe 152
8.3.2.1 Rendite mit Nominalwerten 152
8.3.2.2 Rendite allgemein 153
8.3.2.3 Negative Rendite = Verlust 154
8.3.3 Rendite bei vorzeitigem Verkauf 155
8.3.3.1 Erster Fall, Zinssatz gefallen 156
8.3.3.2 Zweiter Fall, Zinssatz gestiegen 157
8.3.3.3 Die Perspektive des Käufers 157
8.4 Kursberechnung bei beliebiger Restlaufzeit 157
8.4.1 Stückzins- und Kursberechnung 158
8.5 Formelübersicht 159
Teil III: Investitionsrechnung 161
9 Einzelne Investitionsprojekte 161
9.1 Voraussetzungen und Begriffe 162
9.1.1 Investition und Normalinvestition 162
9.1.2 Umgang mit Unsicherheit – Modellcharakter der Investitionsrechnung 163
9.1.3 Planungszeitraum, Abschreibungen und Steuern 163
9.1.4 Finanzierungsarten 164
9.1.5 Zahlungen während des Investitionsprozesses 164
9.2 Ein kurzer Blick auf statische Verfahren 165
9.2.1 Gewinnrechnung 165
9.3 Dynamische Verfahren 166
9.3.1 Die Wahl des Kalkulationszinssatzes 167
9.3.2 Beispiel für die Investitionsrechnung 167
9.4 Kapitalwertmethode 169
9.4.1 Interpretation des Ergebnisses 169
9.4.1.1 Der Endwert ist die anschaulichere Größe 170
9.4.1.2 Zurück zum Barwert 171
9.4.2 Deutung eines negativen Barwertes 172
9.4.3 Fazit Kapitalwertmethode 173
9.4.4 Exkurs – Kreditvergabe als Investition 173
9.5 Amortisationsdauer 174
9.5.1 Die Amortisationsdauer als Beurteilungskriterium 175
9.6 Der innere Zins – Effektivzins zumDritten 175
9.6.1 Grafische Darstellung des inneren Zinssatzes 176
9.6.2 Einfache Fälle 176
9.7 Vermögensendwertmethode 177
9.7.1 Kontenausgleichsverbot 178
9.7.2 Kontenausgleichsgebot 179
9.8 Methodenvergleich 180
9.9 Steuerliche Effekte 180
9.9.1 Veränderung des Kalkulationszinssatzes 180
9.9.2 Anwendung auf das Einführungsbeispiel 181
9.9.2.1 Erörterung des Ergebnisses 182
9.10 Nicht-Normalinvestitionen 183
9.11 Formelübersicht 185
10 Vergleich von Investitionsprojekten 189
10.1 Beispiel für die Vergleichsrechnung 189
10.2 Vergleich der Kapitalwerte – Vorteil Investition 1 190
10.2.1 Voraussetzungen für die Vergleichbarkeit 190
10.2.1.1 Unterschiedliche Anfangsauszahlung 191
10.2.1.2 Differenzinvestition 191
10.2.1.3 Unterschiedliche Nutzungsdauer 192
10.3 Einspruch – beim inneren Zins gewinnt Investition 2! 193
10.3.1 Bestimmung des Schnittpunktes der Barwertkurven 194
10.4 Und was sagt die Amortisationsdauer? 194
10.5 Fazit 195
10.6 Ausschlussverfahren ohne Rechnung 195
10.7 Formelübersicht 197
11 Weg mit der Kristallkugel – Unsicherheiten bei Investitionsentscheidungen 199
11.1 Unsichere Größen im Investitionsprozess 200
11.1.1 Anwendung auf das Beispiel 200
11.1.1.1 Einheitlicher Korrekturfaktor für die Rückflüsse 201
11.1.1.2 Periodenbezogener Korrekturfaktor für die Rückflüsse 201
11.1.1.3 Unsicherheit des Kalkulationszinssatzes 201
11.2 Sensitivitätsanalysen 202
11.2.1 Sensitivitätsanalyse eines Parameters 202
11.2.2 Sensitivitätsanalyse mit zwei Parametern 203
11.2.2.1 Wie Sie den vorteilhaften Bereich erkennen 204
11.3 Alternativrechnungen 205
11.3.1 Simultane Alternativrechnungen mit zwei Parametern 205
11.3.1.1 Tabellarische Ergebnisübersicht 206
11.3.1.2 Grafische Ergebnisaufbereitung – Risikoprofil 207
11.3.1.3 Interpretation der Rechteck-Flächen 209
11.3.2 Viele Parameter – Simulation mit Excel 212
11.3.2.1 Auswahl der Parameter und Wahrscheinlichkeitsannahmen 212
11.3.2.2 Idee der Simulation 214
11.3.2.3 Zufall per Computer 214
11.3.2.4 Umsetzung mit Excel 215
11.3.2.5 Zuordnung von Parameterwerten 215
11.3.2.6 Berechnung der Barwerte 216
11.3.2.7 Klasseneinteilung und Häufigkeitszählung 217
11.3.2.8 Darstellung als Risikoprofil 218
11.3.2.9 Der Zufall im Zufall – „Beweglichkeit“ der Kurven 220
11.3.2.10 Und was ist mit den Erwartungswerten? 220
11.4 Formelübersicht 221
Teil IV 223
12 Mathematische Grundlagen 223
12.1 Mathe? Konnte ich noch nie (leiden)! 223
12.2 Hantieren mit einfachen Gleichungen 224
12.2.1 Umstellen von Gleichungen 225
12.2.2 Einseitige Operationen – Ausklammern und Erweitern 225
12.2.3 Auflösungserscheinungen 226
12.3 Hoch- und Tiefbau – Potenzen und Wurzeln 226
12.3.1 Potenzgesetze 227
12.3.1.1 Positiver ganzzahliger Exponent 227
12.3.1.2 Negativer ganzzahliger Exponent 227
12.3.1.3 Potenzierung von Potenzen 228
12.3.1.4 Wurzeln – Bruchzahlen als Exponent 228
12.3.1.5 Negative gebrochene Exponenten – Wurzeln imNenner 229
12.3.1.6 Einschränkungen beim Wurzelziehen 230
12.4 Abhängigkeitsverhältnisse – Die Funktionen 230
12.4.1 Darstellung von Funktionen 231
12.4.2 Die Potenzfunktion 232
12.4.3 Rollentausch – Die Exponentialfunktion 234
12.4.4 Kommando zurück – Der Logarithmus 236
12.4.4.1 Die Bauweise der Logarithmusfunktion 237
12.4.4.2 Die verschiedenen Logarithmusfunktionen 238
12.4.4.3 Verlauf der e- und der ln-Funktion 239
12.4.5 Anwendungen der Logarithmusfunktion 239
12.4.5.1 Umkehrung der e-Funktion 239
12.4.5.2 Logarithmen von Produkten und Quotienten 239
12.4.5.3 Logarithmen von Potenzen 240
12.4.5.4 Umrechnung in eine andere Basis 241
12.5 Spezielle Gleichungen 242
12.5.1 Quadratische Gleichungen 242
12.5.1.1 Die Lösungen einer quadratischen Gleichung 243
12.5.2 Polynomiale Gleichungen und die Regula falsi 243
12.5.2.1 Die Regula falsi 244
12.5.2.2 Zweite Näherung 245
12.5.3 Der Excel-Solver 246
12.5.3.1 Aktivierung des Solvers 247
12.5.3.2 Aufruf des Solvers 247
12.5.4 Wurzelgleichungen 252
12.6 Folgen, Reihen und Summen 253
12.6.1 Das diskrete Pendant der Funktionen – die Folgen 253
12.6.1.1 Die arithmetische Folge 254
12.6.1.2 Die geometrische Folge 255
12.6.2 Summen und Reihen 256
12.6.2.1 Summenschreibweise 256
12.6.2.2 Rechenregeln für Summen 257
12.6.2.3 Berechnung einzelner Summen 258
12.6.2.4 Summenberechnung mit der arithmetischen Reihe 258
12.6.2.5 Summenberechnung mit der geometrischen Reihe 259
12.6.2.6 Herleitung von Formel 5-6 262
12.6.2.7 Unendliche Reihen 263
12.7 Prozente und Prozentpunkte 264
12.7.0.1 Prozentuale Änderungen berechnen 264
12.7.0.2 Prozentangabe in absoluten Wert umrechnen 265
12.7.0.3 Neuen Wert berechnen 265
12.7.0.4 Zurück zum bisherigen Wert rechnen 265
12.7.0.5 Prozentpunkte – Änderung von prozentual angegebenen Werten 266
Lösungen zu den Übungsaufgaben 269
Literaturverzeichnis 299
Index 301
